모든 단계를 거쳐 \( x > 0 \)에 대한 \( y = x^x \)의 1계 도함수를 구합니다.
단계별 \(x^{x}\)의 도함수
참고로, 함수 \( y = x^{x} \)는 멱함수(\( x^{k} \))도 아니고 지수함수(\( b^{x} \))도 아니므로, 이 두 함수의 알려진 미분 공식을 직접 사용할 수 없습니다. 주어진 함수의 1계 도함수를 구하기 위해 다른 방법을 찾아야 합니다.
주어진 식:
\[ y = x^{x} \]양변에 자연로그(\( \ln \))를 취합니다:
\[ \ln y = \ln\left(x^{x}\right) \]우변에 로그 함수의 성질 \( \ln A^{b} = b \ln A \)를 적용합니다:
\[ \ln y = x \ln x \]좌변에는 연쇄 법칙을, 우변에는 곱의 미분법을 사용하여 양변을 \( x \)에 대해 미분합니다:
\[ \frac{1}{y} \cdot \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(x \ln x) \] \[ \frac{1}{y} \cdot \frac{dy}{dx} = 1 \cdot \ln x + x \cdot \frac{1}{x} \]우변을 간소화합니다:
\[ \frac{1}{y} \cdot \frac{dy}{dx} = \ln x + 1 \]양변에 \( y \)를 곱하고 \( y = x^x \)를 대입합니다:
\[ \frac{dy}{dx} = y(\ln x + 1) \]
도함수 결과:
\[ \dfrac{dy}{dx} = x^{x}(\ln x + 1) \]
연습 문제 및 정답
연습 문제 및 풀이
다음 함수의 1계 도함수를 구하세요:
- \( f(x) = x^{2x} \)
- \( g(x) = (\sin x)^{x} \)
- \( h(x) = (x^2 + 1)^{x} \)
위 연습 문제 정답:
- \( f'(x) = 2x^{2x}(\ln x + 1) \)
- \( g'(x) = (\sin x)^{x}\left(\ln(\sin x) + \dfrac{x \cos x}{\sin x}\right) \)
- \( h'(x) = (x^2 + 1)^{x}\left(\ln(x^2 + 1) + \dfrac{2x^2}{x^2 + 1}\right) \)